如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一

如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP； ④S_△ABC=S_{四边形AOCP}，其中正确的有（　　）

A．②③ B．①②④     C．③④ D．①②③④

D【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；

②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；

③AB上找到Q点使得AQ=OA，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ，即可解题；

④作CH⊥CD，可证△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．

【解答】解：如图，

①连接OB，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD是BC垂直平分线，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，

∵∠ABO+∠DBO=30°，

∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确；

②∵△OBP中，∠BOP=180°﹣∠OPB﹣∠OBP，

△BOC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，

∴∠POC=360°﹣∠BOP﹣∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，

∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，

∴∠POC=2∠ABD=60°，

∵PO=OC，

∴△OPC是等边三角形，故②正确；

③在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，

则∠BQO=∠PAO=120°，

在△BQO和△PAO中，

，

∴△BQO≌△PAO（AAS），

∴PA=BQ，

∵AB=BQ+AQ，

∴AC=AO+AP，故③正确；

④作CH⊥CD，

∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，

∴∠PCH=∠OCD，

在△CDO和△CHP中，

，

∴△CDO≌△CHP（AAS），

∴S_△OCD=S_△CHP

∴CH=CD，

∵CD=BD，

∴BD=CH，

在RT△ABD和RT△ACH中，

，

∴RT△ABD≌RT△ACH（HL），

∴S_△ABD=S_△AHC，

∵四边形OAPC面积=S_△OAC+S_△AHC+S_△CHP，S_△ABC=S_△AOC+S_△ABD+S_△OCD

∴四边形OAPC面积=S_△ABC．故④正确．

故选 D．