．
（1）证明：存在唯一实数
，使得直线
和曲线
相切；
（2）若不等式
有且只有两个整数解，求的范围．
．
（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；
（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．
解：（1）设切点为
，则
①，
和相切，则
②，
所以
，
即
．令
，所以
单增．又因为
，所以，存在唯一实数
，使得，且
．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．
（2）令，即
，所以
，
令
，则
，由（1）可知，
在
上单减，在
单增，且，故当
时，
，当
时，
，
当
时，因为要求整数解，所以在
时，
，所以
有无穷多整数解，舍去；
当
时，
，又
，所以两个整数解为0，1，即
，
所以
，即
，
当
时，，因为
在内大于或等于1，
所以无整数解，舍去，综上，．