解析
:由已知,得an=
, ∴Pn=
=
(30+31+…+3n-1)+
.
∵a4n-2=
=2n-
,
∴Qn=2(1+2+…+n)- 
=n(n+1)-
.
当n=1时,P1=1,Q1=
,∴P1<Q1;
当n=2时,P2=3,Q2=5,∴P2<Q2;
当n=3时,P3=8,Q3=
,∴P3<Q3;
当n=4时,P4=22,Q4=18,∴P4>Q4;
当n=5时,P5=63,Q5=
,∴P5>Q5.
猜想:当1≤n≤3时,Pn<Qn;当n≥4时,Pn>Qn.
证明:①当n=1,2,3时,已验证.
②假设n=k(k≥4)时,Pk>Qk,
即
,
得3k>4k2+1.可得3k+1>12k2+3,
即
.
∴
.
∵6k2+k+2-［2(k+1)2+(k+1)］
=4k2-4k-1>0(k≥4),
∴
,
即当n=k+1时,Pk+1>Qk+1.
综合①②,得1≤n≤3时,Pn<Qn;
n≥4时,Pn>Qn.