如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，AB1与A1B相交于点D，E

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，AB₁与A₁B相交于点D，E是CC₁上的点，且DE∥平面ABC，BC=1，BB₁=2．

（Ⅰ）证明：B₁E⊥平面ABE

（Ⅱ）若异面直线AB和A₁C₁所成角的正切值为，求二面角A﹣B₁E﹣A₁的余弦值．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推导出B₁E⊥AB，BE⊥B₁E，由此能证明B₁E⊥平面ABE．

（Ⅱ）由AC∥A₁C₁，知∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A₁C₁所成角，以B为原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣B₁E﹣A₁的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）∵在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，B₁E⊂面BB₁C₁C，

∴B₁E⊥AB，

∵AB₁与A₁B相交于点D，∴D是AB₁的中点，

取BB₁中点O，连结DO，EO，则DO∥平面ABC，

∵DE∥平面ABC，DE∩DO=D，

∴平面DEO∥平面ABC，

∴OE∥BC，∴E是CC₁的中点，

∴BE=B₁E==，

∴BE²+B₁E²=BB₁²，∴BE⊥B₁E，

∵BE∩AB=B，∴B₁E⊥平面ABE．

解：（Ⅱ）∵AC∥A₁C₁，

∴∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A₁C₁所成角，

∵在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，

∴AB⊥BC，∵异面直线AB和A₁C₁所成角的正切值为，

∴tan=，

∵BC=1，BB₁=2，∴AB=，

以B为原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，

E（1，1，0），A（0，0，），B₁（0，2，0），A₁（0，2，），

=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，1，0），=（﹣1，1，），

设平面AB₁E的法向量=（x，y，z），

则，取x=，得=（，2），

设平面A₁B₁E的法向量=（a，b，c），

则，取a=1，得=（1，1，0），

设二面角A﹣B₁E﹣A₁的平面角为θ，

则cosθ===．

∴二面角A﹣B₁E﹣A₁的余弦值为．