如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF

如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．

（Ⅰ）求证：AO⊥BE．

（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；

（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．

【专题】空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．

（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；

（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值

【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，

∴AO⊥EF，

∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，

∴AO⊥平面EFCB

∴AO⊥BE．

（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，

∵EFCB是等腰梯形，

∴OG⊥EF，

由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，

∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，

建立如图的空间坐标系，

则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，

则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），

=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），

设平面AEB的法向量为=（x，y，z），

则，即，

令z=1，则x=，y=﹣1，

即=（，﹣1，1），

平面AEF的法向量为，

则cos＜＞==

即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；

（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，

则BE⊥OC，

即=0，

∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），

∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）²=0，

解得a=．

【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．