如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0

如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；            

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．       

解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），

把点A（0，4）代入上式得：a=0.8，

∴y=0.8（x﹣1）（x﹣5）=0.8x²﹣4.8x+4=0.8（x﹣3）²﹣4.8，∴抛物线的对称轴是：x=3；

（2）P点坐标为（3，1.6）．理由如下：

∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）

如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得6k+b=4,k+b=0，

解得k=0.8,b=-0.8，∴y=0.8x﹣0.8，

∵点P的横坐标为3，∴y=0.8×3﹣0.8=1.6，∴P（3，1.6）．

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为t，此时点N（t，0.8 t²﹣4.8t+4）（0＜t＜5），

如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣0.8x+4，

把x=t代入得：y=﹣0.8t+4，则G（t，﹣0.8t+4），

此时：NG=﹣0.8t+4﹣（0.8t²﹣4.8t+4）=﹣0.8t²+4t，

∵AD+CF=CO=5，∴S_△ACN=S_△ANG+S_△CGN=0.5AM×NG+0.5NG×CF=0.5NGOC=0.5×（﹣0.8t²+4t）×5=﹣2t²+10t=﹣2（t﹣2.5）²+12.5，∴当t=2.5时，△CAN面积的最大值为12.5，

由t=2.5，得：y=0.8t²﹣4.8t+4=﹣3，∴N（2.5，﹣3）．