如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点
D．
（1）求证：∠CAD =∠CAB；
（2）已知抛物线
过A、B、C三点，AB=10 ，tan∠CAD=
．
① 求抛物线的解析式；
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
解：
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如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD =∠CAB；
（2）已知抛物线过A、B、C三点，AB=10 ，tan∠CAD=．
① 求抛物线的解析式；
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
解：
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(1)证明：连接O'C,∵ CD是⊙O’的切线 ∴ O'C⊥CD.
∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD
∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB ∴ ∠CAD=∠CAB
(2)∵AB是⊙O’的直径，∴∠ACB=90°.
∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴
即OC²=OA∙ OB
∵tan∠CAO=tan∠CAD=, ∴AO=2CO
又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO), ∵CO>0 ∴CO=4,AO=8,BO=2
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..∵ 抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，∴c=4
∴
解得
‚设直线DC交x轴于点F，易得∆AOC∽∆ADC
∴ AD=AO=8, ∵O'C‖AD ∴∆FO’C∽∆FAD ∴ 
∴8(BF+5)=5(BF+10), ∴ BF=
, F(
,0)
设直线DC的解析式为y=kx+m,则
即
∴
.
由
将E（-3，
）代入直线DC的解析式中
右边=
∴ 抛物线顶点E在直线CD上 .
ƒ存在,