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已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π,且两个截面之间的距

已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π,且两个截面之间的距离为9,求球的表面积.

答案

剖析:先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面,再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.注意:由于球的对称性,应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形,加以分类讨论.

解:下图为球的一个大圆截面.

    π·O1A2=49π,则O1A=7.

    又π·O2B2=400π,

    ∴O2B=20.

    (1)当两截面在球心同侧时,OO1-OO2=9=

-,解得R2=625,S球=4πR2=2 500π.

    (2)当两截面在球心异侧时,OO1+OO2=9=

+,无解.

    综上,所求球的表面积为2 500π.


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