直立轻弹簧的下端与水平地面上质量为M=0.20 kg的甲木块连接,轻弹簧

直立轻弹簧的下端与水平地面上质量为M=0.20 kg的甲木块连接,轻弹簧上端静止于A点(如图1),再将质量也为M=0.20 kg的乙木块与弹簧的上端连接,当甲、乙及弹簧均处于静止状态时,弹簧上端位于B点(如图2)。现向下用力压乙,当弹簧上端下降到C点时将弹簧锁定,C、A两点间的距离为Δl=6.0 cm。一个质量为m=0.10 kg的小球丙从距离乙正上方h=0.45 m处自由落下(如图3),当丙与乙刚接触时,弹簧立即被解除锁定,之后,丙与乙发生弹性碰撞(碰撞时间极短),碰撞后取走小球丙,当甲第一次刚离开地面时乙的速度为v=2.0 m/s。求从弹簧被解除锁定至甲第一次刚离开地面时,弹簧弹性势能的改变量。(g=10 m/s2)

答案

解:设丙自由下落h时速度为v0,根据自由落体运动规律

v0==3.0m/s①

解除锁定后,乙与丙发生弹性碰撞,设碰后乙、丙的速度分别为v、v,根据动量守恒定律

mv0=mv+Mv

根据弹性碰撞动能守恒mv02=Mv2+mv2                ③

联立①②③解得

           ④

碰后,乙立即以v=2.0 m/s的速度从C点向下运动,从此时起直到甲第一次刚离开地面的时间内,乙在自身重力和弹簧弹力的共同作用下以B点为平衡位置做简谐运动(如图)。

当乙第一次回到平衡位置B时,弹簧相对于原长的压缩量(图2)x1=

当甲第一次刚离开地面时,弹簧相对于原长的伸长量(图4)x2=

所以根据简谐振动的对称性可知 x1+x2=Δl-x1

则甲第一次刚离开地面时乙的速度为v=2.0 m/s,v和v等大反向,且x1=x2==2 cm⑧

从碰撞结束至甲第一次刚离开地面时,对于乙和弹簧组成的系统,动能变化量为ΔEk=Mv2-Mv2=0

根据功能关系,系统重力势能的增加量ΔE等于弹性势能的减少量ΔE

ΔE=ΔE

重力势能的增加量ΔE=Mg(x2+Δl)⑩

所以弹簧弹性势能的减少量为 ΔE=Mg(x2+Δl)=0.16J。

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