如图（十五），抛物线（其中为正整数）与x轴相交于两个      不

如图（十五），抛物线（其中为正整数）与x轴相交于两个 

    不同的点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，连结AC、BC．

（1）求的值；（2分）

（2）如图①，设点D是线段AC上的一动点，作DE⊥x轴于点F，交抛物线于点E，求

线段DE长度的最大值；（4分）

（3）如图②，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

 解（1）由题意得＞0，解得＜

∵为正整数，∴=1.                 ……2分

（2）由，得，.∴点A（－4，0），B（1，0）.

令，得，∴点C的坐标为（0，2）. ……3分

设直线AC的解析式为，则，∴

 ∴.  ……4分

     设E（m，)，∴D(m，m+2)

    ∴DE=－(m+2) =m²－2m=

当m=－2时，DE的最大值是2 ……6分

（3）在RtΔAOC中，,在RtΔBOC中，

    ∵，∴∠ACB=90⁰. 又CO⊥AB，

    ∴ ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO.   ……7分

 ①若点M在轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，ΔMAN∽ΔBAC；

根据抛物线的对称性，当M(－3,2) 时，ΔMAN∽ΔABC；……8分

 ②若点M在轴下方时，设N(n,0)，则M（n, ），

MN=

n²+n

       当时，MN=AN，

 即n²+n－2=(n+4)，

       n²+2n－8=0 ，∴ n₁= －4(舍去), n₂=2，

∴M（2，－3）     ……9分

       当时，MN=2AN，

即n²+n－2=2(n+4)，

n²－n－20=0 ，∴ n₁= －4(舍去)，n₂=5，

∴M（5，－18）

       综上所述：存在M₁（0，2）,M₂(－3,2),

M₃（2，－3）,M₄（5，－18）, 使得以点

        A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似..