如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合.
（1）若点F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE=
，△AEF的面积为
，求与的函数关系式；
（2）若点F在折线ABC上移动，是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，请说出理由。
如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合.
（1）若点F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE=，△AEF的面积为，求与的函数关系式；
（2）若点F在折线ABC上移动，是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，请说出理由。
解：（1）在Rt△ABC中，AB=
∴L△ABC=AB+AC+BC=5+3+4=12
∵EF平分Rt△ABC的周长，∴AE+AF= 6
∴AF=6－AE=6－
在Rt△ABC中，
作FG⊥AC，则FG =
∴S△AEF=
即△AEF的面积
与的函数关系式为
（2）①若F在AB上，假设EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，
则有：
解得：
，
∵
＞3(应舍去)，∴
②若F在BC上，∵
，∴CF=6－（3－）=3+
同理可得：
解得：
，
（舍去），∵CF=3+=
，
∴不合题意
∴存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，