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在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD.

在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD.

答案

证明:过A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则AO⊥CD.

∵AB⊥CD,AO∩AB=A,∴CD⊥平面ABO.

∵BO平面ABO,

∴CD⊥BO.

同理,BC⊥DO,则O为△BCD的垂心,

∴CO⊥BD.

∵AO⊥BD,CO∩AO=O,∴BD⊥平面ACO.AC平面ACO,∴AC⊥BD.

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