如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，AB=OB，点 E

如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB ，点 E 、点 F 分别是 OA、OD 的中点，连接 EF， ∠ CEF=45°，EM ⊥ BC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN= ，则线段 BC 的长为 _____ ．

【分析】

设 EF=x ，根据三角形的中位线定理表示 AD=2x，AD ∥ EF ，可得 ∠ CAD= ∠ CEF=45° ，证明 △ EMC 是等腰直角三角形，则 ∠ CEM=45° ，证明 △ ENF ≌△ MNB ，则 EN=MN= x，BN=FN= ，最后利用勾股定理计算 x 的值，可得 BC 的长．

【详解】

设 EF=x，

∵点 E 、点 F 分别是 OA、OD 的中点，

∴ EF 是 △ OAD 的中位线，

∴ AD=2x，AD ∥ EF，

∴∠ CAD= ∠ CEF=45°，

∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ AD ∥ BC，AD=BC=2x，

∴∠ ACB= ∠ CAD=45°，

∵ EM ⊥ BC，

∴∠ EMC=90°，

∴△ EMC 是等腰直角三角形，

∴∠ CEM=45°，

连接 BE，

∵ AB=OB，AE=OE

∴ BE ⊥ AO

∴∠ BEM=45°，

∴ BM=EM=MC=x，

∴ BM=FE，

易得 △ ENF ≌△ MNB，

∴ EN=MN= x，BN=FN= ，

Rt △ BNM 中，由勾股定理得： BN ² =BM ² +MN ² ，

∴ ( ) ² ＝ x ² +( x) ² ，

x=2 或 -2 （舍），

∴ BC=2x=4 ．

故答案为 4 ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．