设椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，其离心率e=，且点F2到

设椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁、F₂，其离心率e=，且点F₂到直线+=1的距离为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设点P（x₀，y₀）是椭圆E上的一点（x₀≥1），过点P作圆（x+1）²+y²=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围．

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）设F₁（﹣c，0），F₂（c，0），依题意有，．可得c=1，a=2，b=，

 （2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x₀）+y₀，由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，⇒|y₀﹣k（x₀+1）|=⇒（x₀²+2x₀）k²﹣2y₀（x₀+1）k+y₀²﹣1=0，A（0，y₀﹣kx₀）．设圆的切线PN的方程为y=k₁（x﹣x₀）+y₀，同理可得B（0，y₀﹣k₁x₀），依题意k₁，k是方程（x₀²+2x₀）k²﹣2y₀（x₀+1）k+y₀²﹣1=0的两个实根，|AB|²=[x₀（k﹣k₁）]²==．由，得|AB|²=1+=1+．

【解答】解：（1）设F₁（﹣c，0），F₂（c，0），

依题意有，．

又∵a²=b²+c²，∴c=1，a=2，b=，

∴椭圆E的方程为：．

（2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x₀）+y₀

由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，⇒

|y₀﹣k（x₀+1）|=⇒（x₀²+2x₀）k²﹣2y₀（x₀+1）k+y₀²﹣1=0

令y=k（x﹣x₀）+y₀中x=0，y=y₀﹣kx₀

∴A（0，y₀﹣kx₀）．

设圆的切线PN的方程为y=k₁（x﹣x₀）+y₀．

同理可得B（0，y₀﹣k₁x₀）

依题意k₁，k是方程（x₀²+2x₀）k²﹣2y₀（x₀+1）k+y₀²﹣1=0的两个实根，

k₁+k=，k₁k=

|AB|²=[x₀（k﹣k₁）]²==．

∵，∴|AB|²=1+=1+

∵1≤x₀≤2，∴|AB|²=1+．

∴|AB|的取值范围为[]

【点评】本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，圆的切线问题，属于难题