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已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，

已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)、B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

答案

解析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试.

解:设A、B关于直线l的对称点分别为A1、B1,由对称性知∠A1OB1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A1(2pt12,2pt1)(t1＜0),B1(2pt22,2pt2),

又OA1=OA=1,OB1=OB=8,则有两式相除得=64.

又∵kOA1=,kOB1=,OA1⊥OB1,

∴k OA1·kOB1=-1,即t1·t2=-1.

则可将t2=-代入上式,得t16=,t1=-.

故有2p=.

∴A1(,-2).∴kAA1=,kl=.

故所求直线l的方程为y=2x,抛物线C的方程为y2=x.

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