证明：
先证必要性:因为a+b=1(ab≠0),即b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
所以必要性成立.
再证充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而a2-ab+b2≠0.
所以a+b-1=0,即a+b=1.故充分性成立.