解析
:若sin(α+β)=sinα+sinβ成立,我们寻求等式成立的充分条件,如果充分条件不存在,则说明等式不成立.从而将反溯条件型开放性问题转化为封闭性的求解问题.由sin(α+β)=sinα+sinβ,
而sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
从而sinαcosβ+cosαsinβ-sinα-sinβ=0,
得sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)=0.
由余弦二倍角公式,有
-2sinαsin2
-2sinβsin2
=0,
由正弦二倍角公式,有
2sin
cos
sin2
+2sin
cos
sin2
=0,
得sin
sin
(sin
cos
+cos
sin
)=0,
即sin
sin
sin
=0.
这时,α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z).
综上可知当α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z)时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立,否则不成立.