如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．
（Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为
时，求出AE的长．
如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．
（Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为时，求出AE的长．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（I）如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．利用正方形的性质可得AF=FM，利用三角形的中位线定理可得：EF∥BM．利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE．
（II）由DM⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），设平面MCE的法向量为
=（x，y，z），则
，解得
．取平面ABCD的法向量
=（0，0，1）．根据二面角D﹣CE﹣M的大小为
时，可得
=
，解出b即可．
【解答】（I）证明：如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．
∵四边形ADMN是正方形，∴AF=FM，
又AE=EB，∴EF∥BM．
∵BM⊄平面NDE，EF⊂平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
（II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC．
以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）．
=（3，b﹣6，0），
=（0，﹣6，3）．
设平面MCE的法向量为
=（x，y，z），则
，
取y=1，则z=2，x=
．
∴=
．
取平面ABCD的法向量
=（0，0，1）．
∵二面角D﹣CE﹣M的大小为
时，∴
=
=
，
解得b=
（0≤b≤6）．
∴二面角D﹣CE﹣M的大小为
时，AE=．
