解法一:组成没有重复数字的四位偶数这件事,可以分成两类:
第一类:个位数字是0的四位偶数,有A
个;
第二类:个位数字是2,4,6,8这四个数字之一的四位偶数,要分三个步骤完成:
第一步,从2,4,6,8中任取一个数字作为个位数字,有A
种方法;
第二步,从除0以外的其余八个数字中,任取一个数字作为千位数字,有A
种方法;
第三步,从剩余的八个数字中,任取两个数字作为百位和十位上的数字,有A
种方法.
由分步乘法计数原理,第二类中的四位偶数有A
·A
·A
个.
最后,由分类加法计数原理,符合条件的四位偶数共有
A
+A
·A
·A
=504+1 792=2 296(个).
解法二:组成没有重复数字的四位偶数这件事,可以分成两类:
第一类,从1,3,5,7,9中任取一个数字作为千位数字,从0,2,4,6,8中任取一个数字作为个位数字的四位偶数,有A
·A
·A
(个).
第二类,从2,4,6,8中任取一个数字作为千位数字,从0,2,4,6,8中剩余的四个数字中,任取一个数字作为个位数字的四位偶数,有A
·A
·A
(个).
由分类加法计数原理,符合条件的四位偶数共有
A
·A
·A
+A
·A
·A
=(25+16)×56=2 296(个).
解法三:从0到9这十个数字中任取4个且末位是偶数的排列数为A
·A
,其中0在首位的四位偶数为A
·A
,它们的差就是符合条件的四位偶数的个数,即所求的四位偶数是A
·A
-A
·A
=5×9×8×7-4×8×7=2 296(个).
方法归纳
解决排列问题的方法有直接法和间接法(正难则反)两种.直接法可从元素或位置入手;间接法主要是解决有约束条件的排列问题.