(本题满分15分)已知函数
．
(Ⅰ)若
无极值点，但其导函数
有零点，求
的值；
(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于
．
(本题满分15分)已知函数．
(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；
(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．
解 (Ⅰ)首先，
---------------1分
---------------3分
有零点而
无极值点，表明该零点左右同号，故
，且
的
由此可得
----------------6分
（Ⅱ）由题意，有两不同的正根，故
.
解得：
----------------8分
设的两根为
，不妨设
，因为在区间
上， 
，而在区间
上，
，故
是的极小值点.-------10分
因在区间上是减函数，如能证明
则更有
---------------13分
由韦达定理，
，
令
其中
设
，利用导数容易证明
当
时单调递减，而
，因此
，即的极小值
-------15分
（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于
.
由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，
（用
表示
的关系式与此相同），这样
即
，再证明该式小于是容易的（注意
，下略）.