证明:不妨设a≥b≥c,此时
a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
于是由排序不等式可得
·a(b+c-a)+·b(c+a-b)+·c(a+b-c)≤·a(b+c-a)+·b·(c+a-b)+·c(a+b-c)=a+b+c,
即a(b-a)+b(c-b)+c(a-c)≤0,
a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,
上式当且仅当==,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.
·a(b+c-a)+
·b(c+a-b)+
·c(a+b-c)≤
·a(b+c-a)+
·b·(c+a-b)+
·c(a+b-c)=a+b+c,
a(b-a)+
b(c-b)+
c(a-c)≤0,
=
=
,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.