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设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并问何时取

设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并问何时取等号?

答案

证明:不妨设a≥b≥c,此时

a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),

于是由排序不等式可得

·a(b+c-a)+·b(c+a-b)+·c(a+b-c)≤·a(b+c-a)+·b·(c+a-b)+·c(a+b-c)=a+b+c,

即a(b-a)+b(c-b)+c(a-c)≤0,

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,

上式当且仅当==,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.

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