如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知
求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.
20.
解法一：
（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE
是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知
EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.
设DE=x，因△DAE∽△CED，故
从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH.因PD⊥底面，
故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.
因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.
因此∠EHG为二面角的平面角.
在面PDC中，PD=
因△PDC∽△GHC，故
又
故在
即二面角E—PC—D的大小为
解法二：
（Ⅰ）以D为原点，
、
、
分别为x、y、
z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D（0，0，0），P（0，0，
由
·
=0，即
·
，又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得|
|=1，故异面直线PD、
CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由 
得
即
=（0,1,
）作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），则
=
由
·
又由F在PC上得
因
⊥
,
⊥
,故平面E—PC—D的平面角
与
的夹角.故
即二面角E—PC—D的大小为