（本小题满分14分）
已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，长轴长为
，离心率为
，经过其左焦点
的直线
交椭圆于
、
两点.
（I）求椭圆的方程；
（II）在轴上是否存在一点
，使得
恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点的直线交椭圆于、两点.
（I）求椭圆的方程；
（II）在轴上是否存在一点，使得恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
解：（I）设椭圆
的方程为
.
由题意，得
，解得
，所以
. …………………………3分
所求的椭圆方程为
. …………………………………………………4分
（II）由（I）知
.
假设在
轴上存在一点
，使得
恒为常数.
①当直线
与轴不垂直时，设其方程为
，
、
.
由
得
. ……………………………6分
所以
，
. ………………………………………7分
.
因为是与
无关的常数，从而有
，即
. ……………10分
此时
. ……………………………………………………………………11分
②当直线与轴垂直时，此时点
、
的坐标分别为
，
当时，亦有. ………………………………………………13分
综上，在轴上存在定点
，使得恒为常数，且这个常数为
.
…………………………………………………………14分