已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为
，且过点(4，－
)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：
·
＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
[分析] 由离心率为可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单．
[解析] (1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过(4，－)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝
，
∴c＝2
，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.
故kMF1·kMF2＝－1，∴⊥.∴·＝0.
证法2：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
[点评] 双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．