如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l,m,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上(点P,Q分别在点O的正东、正北方向),且要求PQ与圆A相切.
(1) 当点P距O处2百米时,求OQ的长;
(2) 当公路PQ的长最短时,求OQ的长.
如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l,m,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上(点P,Q分别在点O的正东、正北方向),且要求PQ与圆A相切.
(1) 当点P距O处2百米时,求OQ的长;
(2) 当公路PQ的长最短时,求OQ的长.
解：以
为原点，直线
、
分别为
轴建立平面直角坐标系．
设
与圆
相切于点
，连结
，以
百米为单位长度，则圆的方程为
，
(1)由题意可设直线的方程为
，即
，
，
∵与圆相切，∴
，解得
，
故当
距处
百米时，
的长为
百米．……………6分
（2）设直线的方程为
，即
，
，
∵与圆相切，∴
，化简得
，则
，
……9分
令
，∴
，
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，
，即在
上单调递增，
∴在
时取得最小值，故当公路长最短时，的长为
百米．
答：（1)当距处百米时，的长为百米；（2）当公路长最短时，的
长为百米．……………16分