（07年上海卷理）（18分）
已知半椭圆
与半椭圆
组成的曲线称为“果圆”，其中
。如图，设点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
是“果圆” 与
，
轴的交点，
（1）若三角形
是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
，求
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数
，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
（07年上海卷理）（18分）
已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，
（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
解析：（1）
，
，
于是
，所求“果圆”方程为
，
（2）由题意，得 
，即
．
，
，得
．
又
． 
．
（3）设“果圆”
的方程为
，
．
记平行弦的斜率为
．
当
时，直线
与半椭圆的交点是
，与半椭圆的交点是
．
的中点
满足 
得 
．
， 
．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当
时，以为斜率过
的直线
与半椭圆的交点是
．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上，
即不在某一椭圆上．
当
时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．