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已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R+)，当p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对

已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R+)，当p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是0≤p≤1.

答案

证明：∵pf(x)+qf(y)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)，f(px+qy)=(px+qy)2+a(px+qy)+b，

∴pf(x)+qf(y)－f(px+qy)=(p－p2)x2－2pqxy+(q－q2)y2=pqx2－2pqxy+pqy2=pq(x－y)2≥0pq≥0 p(1－p)≥00≤p≤1.

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