如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点． （Ⅰ）

如图所示，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；

（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；

（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A₁C₁D的体积．

考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： （I）连结AB₁交A₁B于E，连ED．由正方形的性质及三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理可得B₁C∥平面A₁BD；

（Ⅱ）由AC₁⊥平面ABD，结合正方形的性质可证得A₁B⊥平面AB₁C₁，进而A₁B⊥B₁C₁，再由线面垂直的判定定理可得B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

（III）由等腰三角形三线合一可得BD⊥AC．再由面面垂直的性质定理得到BD⊥平面DC₁A₁．即BD就是三棱锥B﹣A₁C₁D的高．代入棱锥的体积公式，可得答案．

解答： 证明：（I）连结AB₁交A₁B于E，连ED．

∵ABC﹣A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，

∴侧面ABB₁A是一正方形．

∴E是AB₁的中点，又已知D为AC的中点．

∴在△AB₁C中，ED是中位线．

∴B₁C∥ED．

又∵B₁C⊄平面A₁BD，ED⊂平面A₁BD

∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）

（II）∵AC₁⊥平面ABD，A₁B⊂平面ABD，

∴AC₁⊥A₁B，

又∵侧面ABB₁A是一正方形，

∴A₁B⊥AB₁．

又∵AC₁∩AB₁=A，AC₁，AB₁⊂平面AB₁C₁．

∴A₁B⊥平面AB₁C₁．

又∵B₁C₁⊂平面AB₁C₁．

∴A₁B⊥B₁C₁．

又∵ABC﹣A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴BB₁⊥B₁C₁．

又∵A₁B∩BB₁=B，A₁B，BB₁⊂平面ABB₁A₁．

∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．…（8分）

解：（III）∵AB=BC，D为AC的中点，

∴BD⊥AC．

∴BD⊥平面DC₁A₁．

∴BD就是三棱锥B﹣A₁C₁D的高．

由（II）知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁．

∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．

又∵AB=BC=1

∴BD=

∴AC=A₁C₁=

∴三棱锥B﹣A₁C₁D的体积

V=•BD•=•A₁C₁•AA₁=K=…（12分）

点评： 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面平行，线面垂直的判定定理是解答的关键．