已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2． （Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值

已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x²．

（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；

（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【专题】导数的综合应用．

【分析】（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．

（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；

（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x²，由此能够证明ln（n+1）＜2+．

【解答】解：（1）因为，

令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，

经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，

∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．

（2），

令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）

①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；

②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；

若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；

③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，

④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，

则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；

（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x²，

∵，∴，i=1，2，3，…，n，

∴，

∴．

【点评】本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．