在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，C

在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；

（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．

（2）试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

考点：

四边形综合题．

专题：

计算题．

分析：

（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根据∠A的度数求出∠PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用对顶角相等得到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长；

（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系．

解答：

解：（1）延长PE交CD的延长线于F，

设AP=x，△CPE的面积为y，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=DC=6，AD=BC=8，

∵Rt△APE，∠A=60°，

∴∠PEA=30°，

∴AE=2x，PE=x，

在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，

∴DF=DE=4﹣x，

∵AB∥CD，PF⊥AB，

∴PF⊥CD，

∴S_△CPE=PE•CF，

即y=×x×（10﹣x）=﹣x²+5x，

配方得：y=﹣（x﹣5）²+，

当x=5时，y有最大值，

即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是；

（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，

∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°，

∵∠ADC=120°，

∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°，

∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，

过D作DM⊥CE于M，则CM=CE，

在Rt△CMD中，∠ECD=30°，

∴cos30°==，

∴CM=CD，

∴CE=CD，

∵BC=CE，AB=CD，

∴BC=AB，

则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB．

点评：

此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，平行线的判定与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的探究题．