,设曲线
在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点(xn+1,0)(x∈N*)其中x为正实数(Ⅰ)用xn表示xn+1
(Ⅱ)求证：对一切正整数n，
的充要条件是
；
（Ⅲ）若x1=4，记
，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛an｝的通项公式。
,设曲线在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点(xn+1,0)(x∈N*)其中x为正实数(Ⅰ)用xn表示xn+1
(Ⅱ)求证：对一切正整数n，的充要条件是；
（Ⅲ）若x1=4，记，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛an｝的通项公式。
本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题可得
所以过曲线上点
的切线方程为，
即
令
，得
，即
显然
∴
（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数
，则
，即
，而
，∴
，即有
（充分性）若
，由
用数学归纳法易得
，从而
，即
又
∴
于是
，
即
对一切正整数
成立
（Ⅲ）由
，知
，同理，
故
从而
，即
所以，数列
成等比数列，故
，
即
，从而
所以