(1)求证:(a+b
)⊥(a-b);(2)设a
与b的数量积表示为关于k的函数f(k),求f(k);(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a
与b的夹角.
(1)求证:(a+b
)⊥(a-b);(2)设a
与b的数量积表示为关于k的函数f(k),求f(k);(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a
与b的夹角.(1)证明
:|a|=
=1,|b|=
=1,∵(a
+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,∴(a+b)⊥(a-b).(2)解
:由|ka+b|=3|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,化简,得a
·b=
,故f(k)= 
(k＞0).(3)解
:由y=
(y＞0),得k2-4ky+1=0.∵k＞0,方程有解,∴Δ=16y2-4≥0,
解得y≥
.这时,设a
与b的夹角为θ,则cosθ=
=
.又0≤θ≤π,∴a
与b的夹角为
.点评
:解决本题,我们首先要根据题意画出图形,借助对图形的观察,实现实际问题向数学问题的转化.转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法.以向量为工具,通过转化,可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法,请同学们注意体会.