和居民区
的公路，点
所在的山坡面与山脚所在水平面
所成的二面角为
（
），且
，点
到平面
的距离
（km）.沿山脚原有一段笔直的公路
可供利用.从点
到山脚修路的造价为
万元/km，原有公路改建费用为
万元/km.当山坡上公路长度为
km（
）时，其造价为
万元.已知
，
，
，
. （I）在
，使沿折线
修建公路的总造价最小；（II） 对于（I）中得到的点
上求一点
，使沿折线
修建公路的总造价最小.（III）在
、
，使沿折线
修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论.
图4
解：（I）如图，，，，由三垂线定理逆定理知，，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，
.
设，.则.
记总造价为万元，
据题设有
当，即时，总造价最小.
（II）设，，总造价为万元，根据题设有
.
则，由，得.
当时，，在内是减函数；
当时，，
在
内是增函数.
故当
，即
（km）时总造价
最小，且最小总造价为
万元.
（III）解法一：不存在这样的点
，
.
事实上，在
上任取不同的两点
，
.为使总造价最小，
显然不能位于
与
之间.故可设
位于
与
之间，且
=
，
，
，总造价为
万元，则
.类似于（I）、（II）的讨论知，
，
，当且仅当
，
同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时
，
，
取得最小值
，点
分别与点
重合，所以不存在这样的点
，使沿折线
修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价.
解法二：同解法一得
.
当且仅当
且
，即
同时成立时，
取得最小值
，以下同解法一.