如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB

如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

考点：

等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．

分析：

（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；

（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S_△PCE，S_△APF，S_△ABC，再根据S=S_△ABC﹣S_△PCE﹣S_△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．

解答：

（1）证明：∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

∵PE∥AB，

∴∠CPE=∠A，

∴∠CPE=∠C，

∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，

∴CM=CP=，tanC=tanA=k，

∴EM=CM•tanC=•k=，

同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，

由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，

而EM+FN=+4k﹣=4k，

∴EM+FN=BH；

（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，

所以，S_△PCE=x•2x=x²，S_△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）²，S_△ABC=×8×16=64，

S=S_△ABC﹣S_△PCE﹣S_△APF，

=64﹣x²﹣（8﹣x）²，

=﹣2x²+16x，

配方得，S=﹣2（x﹣4）²+32，

所以，当x=4时，S有最大值32．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．