已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2：
+
=1在第一象限交于点A，直线y=
x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．
（1）求m的取值范围；
（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．
已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．
（1）求m的取值范围；
（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）联立方程中先求出A点坐标，联立方程组
，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．
（2）利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为
．
（3）设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，推导出kAB+kAD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y2=2x与椭圆C2：
+=1在第一象限交于点A，
∴由
，得A点坐标为
，
联立方程组
，
∵A、B、D三点两两互不重合，
∴△=﹣8m2+64＞0，∴
，且m≠0，
∴m的取值范围是
．
（2）设B（x1，y1），D（x2，y2），
①
∵|BD|=
|x1﹣x2|=
，
设d为点A到直线BD
的距离，则
．
∴
，当且仅当m=±2时取等号．
∵±2∈（﹣2
，0）∪（0，2
），
∴当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．
（3）证明：设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则
，
将①代入上式整理得kAB+kAD=0，
∴直线AB、AD的斜率之和为定值0．