如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③
=
；④GH的值为定值
；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=
上述结论中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③ =；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=
上述结论中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
B【考点】相似形综合题．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据
=
可以判断①正确；根据△DCB∽△ECF可以判断②正确；根据△EDC∽△EHG得
，由AB=DC可知③错误；根据△DEH∽△DBA求出EH=
，HG=
故④正确；根据已知条件可以证明△AEF是等腰三角形，列出方程6﹣t=2+3t，求出t，得到DE=1，根据tan∠BGF=tan∠DCE=
，故⑤错误．
【解答】解：作CN⊥BD，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°，
∵
，
，
∴
，
∵∠CDE=∠FBC=90°
∴△CDE∽△CBF，故①正确，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠BCE+∠BCF=90°，
∴∠ECD=90°，
∵
，
∴
，
∵∠DCB=∠ECF
∴△DCB∽△ECF，
∴∠DBC=∠EFC，故②正确，
∴∠CDB=∠CEF，
∵∠CDB+∠DCN=90°，∠DCN+∠NCB=90°，
∴∠DCB=∠NCB=∠CEF，
∵CN⊥BD，EH⊥DB，
∴CN∥EH，
∴∠NCE=∠CEH，
∴∠ECB=∠HEG，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠HEG，
∵∠EDC=∠EHG=90°，
∴△EDC∽△EHG，
∴
，
∵AB=DC，
∴
，故③错误，
∵AD=BC=6，AB=2，
∴BD=
=2
，
∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB，
∴△DEH∽△DBA，
∴
，
∴
，
∴EH=
，
∵
，
∴
，
∴HG=
，故④正确．
∵BM∥ED，MG=3EG，
∴
，
∴BM=3t，
∵BF=3t，
∴MB=BF，∵∠MBF=90°
∴∠MFB=45°，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴AE=AF，
∴6﹣t=2+3t
∴t=1，DE=1，
∵∠FGB=∠EGH=∠DCE，
∴tan∠BGF=tan∠DCE=
=
，故⑤错误．
综上所述①②④正确．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用到方程的思想解决线段的长度问题．