,n=1,2,…(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零,求A=
an(将A用a表示);
(Ⅱ)设bn=an－A,n=1,2,…,证明:bn+1=－
;
(Ⅲ)若|bn|≤
,对n=1,2,…都成立,求a的取值范围.
,n=1,2,…(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零,求A=an(将A用a表示);
(Ⅱ)设bn=an－A,n=1,2,…,证明:bn+1=－;
(Ⅲ)若|bn|≤,对n=1,2,…都成立,求a的取值范围.
(22)本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
解：
(Ⅰ)由
且A=
两边取极限得.A=a+
.又A＞0,∴A=
. (Ⅱ)由an=bn+A,an+1=a+
,
∴bn+1=a－A+
+
=－
.即bn+1=－
(Ⅲ)令|b1|≤
(a+
)|≤
.∴|
－a)|≤
.∴
－a≤1,解得a≥
.现证明当a≥
,对n=1,2,…都成立.(ⅰ)当n=1时结论成立(已验证).
(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时结论成立,即|bk|≤
|bk+1|=
×
.故只需证明
,即证A|bk+A|≥2对a≥
由于A=
，而当a≥
－a≤1,∴A≥2.∴|bk+A|≥A－|bk|≥2－
故当a≥
×
=
.即n=k+1时结论成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)，可知结论对一切正整数都成立.
故|bn|≤
，+∞).