（2009四川卷理）（本小题满分12分）如图，正方形
所在平面与平面四边形
所在平面互相垂直，△
是等腰直角三角形，
（I）求证：
；
（II）设线段
的中点为
，在直线
上是否存在一点
，使得
？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角
的大小。
（2009四川卷理）（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，
（I）求证：；
（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角的大小。
本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：
（Ⅰ）因为平面
⊥平面
,
平面，
平面
平面
，
所以⊥平面
所以⊥
.
因为
为等腰直角三角形， 
，
所以
又因为
，
所以
，
即⊥
,
所以⊥平面
。 ……………………………………4分
（Ⅱ）存在点
,当为线段AE的中点时，PM∥平面
取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝
∥＝PC
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
所以PM∥平面BCE ……………………………………8分
（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH
因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=
. 
FG=AF·sinFAG=
在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=
,
GH=BG·sinGBH=·=
在Rt△FGH中，tanFHG= 
= 
故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分
解法二:
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而，
.
所以
,
,
.
,
.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.
从而
=（
，）.
于是
所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PM∥平面BCE. ………………………………8分
(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为
，并设=（x，y，z）
=(1，
1，0)，
即
去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）
取平面ABD的一个法向量为
=（0，0，1）
故二面角F-BD-A的大小为
. ……………………………………12分