如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R=5，tanA=
，求线段CD的长．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）首先连接OD，由∠BDE=∠A，易得∠ODA=∠BDE，又由AB为直径，可得∠ADB=90°，继而求得∠ODE=90°，则可证得：DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ABC中，可得tanA=
=，则可求得BC的长，然后由勾股定理求得AC的长，易证得△BCD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
又∵∠BDE=∠A，
∴∠ODA=∠BDE．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
即∠ODA+∠ODB=90°．
∴∠BDE+∠ODB=90°．
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵R=5，
∴AB=10．
在Rt△ABC中，
∵tanA==，
∴BC=AB•tanA=10×=
，
∴AC=
=
，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB．
∴
，
∴CD=
=
．
【点评】此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．