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22.如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1
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22.如图，在边长为
l
的等边△
ABC
中，圆
O
1
为△
ABC
的内切圆，圆
O
2
与圆
O
1
外切，且与
AB
，
BC
相切，…，圆
O
n
+1
与圆
O
n
外切，且与
AB
、
BC
相切，如此无限继续下去.记圆
O
n
的面积为
a
n
（
n
∈
N
）.
（Ⅰ）证明{
a
n
}是等比数列；
（Ⅱ）求
（
a
1
+
a
2
+…+
a
n
）的值.
答案
22.（Ⅰ）证明：记
r
n
为圆
O
n
的半径，则
r
1
=
tan30°=
l
，
=sin30°=
.
所以
r
n
=
r
n
－
1
（
n
≥2），
于是
a
1
=π
r
1
2
=
，
，
故{
a
n
}成等比数列.
（Ⅱ）解：因为
a
n
=（
）
n
－
1
a
1
（
n
∈
N
），
所以
（
a
1
+
a
2
+…+
a
n
）=
=
.
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.
，
=
.