22.如图,在边长为l的等边△ABC中,圆O1为△ABC的内切圆,圆O2与圆O1
22.如图,在边长为
l的等边△
ABC中,圆
O1为△
ABC的内切圆,圆
O2与圆
O1外切,且与
AB,
BC相切,…,圆
On+1与圆
On外切,且与
AB、
BC相切,如此无限继续下去.记圆
On的面积为
an(
n∈
N).

(Ⅰ)证明{an}是等比数列;
(Ⅱ)求
(
a1+
a2+…+
an)的值.
22.(Ⅰ)证明:记rn为圆On的半径,则r1=
tan30°=
l,


=sin30°=

.
所以rn=
rn-1(
n≥2),
于是a1=πr12=
,

,
故{an}成等比数列.
(Ⅱ)解:因为an=(
)
n-1a1(
n∈
N),
所以
(
a1+
a2+…+
an)=

=

.