(1)求轨迹E的方程;
(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点,①无论直线l绕F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值.②过P、Q作直线x=
的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,是否存在直线l,满足|PA|+|QB|=
|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)求轨迹E的方程;
(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点,①无论直线l绕F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值.②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,是否存在直线l,满足|PA|+|QB|=|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
轨迹E的方程为x2
=1(x≥1).
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),将l的方程与双曲线方程联立,消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.解得k2＞3.
①∵·
=(x1-m)(x2-m)+y1y2=（k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=
+m2,
∵MP⊥MQ,
∴
·
=0,即3(1-m2）+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2＞3恒成立.
∴
解得m=-1.当m=-1时,MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立.
综上,当m=-1时,MP⊥MQ.
②∵a=1,c=2,∴x=
是双曲线的右准线,假设存在直线l满足条件,且斜率为k.
由双曲线定义得:|PA|=
|PF2|=
|PF2|,|QB|=
|QF2|，
∴|PQ|=
|AB|
|x2-x1|=
|y2-y1|=
|k(x2-x1)|.
∴1
=
|k|.
∴k=±1.又k2＞3,∴此时k不存在.
当直线的斜率不存在时,|PQ|=|AB|,此时不满足题设.
故不存在满足题设条件的直线l.