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正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,在侧棱BB1上截取BD=,在侧棱CC1上截取

正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,在侧棱BB1上截取BD=,在侧棱CC1上截取CE=a,过A,D,E作棱柱的截面.求证:截面ADE⊥侧面ACC1A1.

答案

证明：取BC的中点O,如图建立空间直角坐标系.

则A(

a,0,0),B(0,a2,0),D(0,,),E(0,-,a),C(0,-,0).

所以

=(-a,,),=(-a,-,a).

设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则

所以

令y1=1,则n1=(

,1,2).

又

=(-a,,0).

设平面ACC1A1的法向量为n2=(x2,y2,z2).

所以

所以

令x2=1,则n2=(1,

,0).

所以n1·n2=0.所以n1⊥n2.

所以截面ADE⊥侧面ACC1A1.


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