已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)
为偶函数.
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围.
已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数.
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围.
(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
log4
－log4(4x＋1)＝2kx⇒(2k＋1)x＝0
⇒k＝－
.
(2)依
题意知：log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－
a)
⇒
，
令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0只需其有一正根.
①若a＝1，则t＝－1不合题意.
②若(*)式有一正一负根，则
，
∴a＞1，
经验证知a＞1时满足a·2x－a＞0，∴a＞1.
③两实根相等，Δ＝0⇒a＝±2
－2.
当a＝－2－2时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0的根为t＝2x＝
＝
＝
，
此时满足2x·a－a＞0.
当a＝2－2时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0的根为t＝2x＝＝
＝
，不满足a·2x－a＞0，
∴a＝－2－2，
综上所述，a＞1或a＝－2－2.