首页 / 已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60

已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60

已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°.

（1）求证：BD⊥平面ADC；

（2）若H是△ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影.

答案

证明：(1)∵BD⊥AD,BD⊥DC,AD∩DC=D,∴BD⊥面ADC.

 (2)由(1)知BD⊥AC.

∵AD=BD=CD,∠ADB=∠BDC=90°,∴AB=AC.

又∵∠BAC=60°,

∴△ABC为等边三角形.

∴AB=BC=AC.

∴可得∠ADC=90°.

同理可证AD⊥面BCDAD⊥BC.

∴.

∴.

∴=0.

∴DH⊥面ABC.

∴H是D在面ABC内的射影.

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