思路分析:要求的函数为二次函数,一般可设其为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),然后根据已知条件求出系数a、b、c,从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x=2对称,故可设函数f(x)=a(x-2) 2+k.
解:∵f(2+x)=f(2-x),
∴f(x)的图象关于直线x=2对称.
于是,设f(x)=a(x-2) 2+k(a≠0),
则由f(0)=3,可得k=3-4a,
∴f(x)=a(x-2) 2+3-4a=ax2-4ax+3.
∵ax2-4ax+3=0的两实根的平方和为10,
∴10=x12+x22=(x1+x2) 2-2x1x2=16-
,∴a=1.
∴f(x)=(x-2) 2-1=x2-4x+3.
说明:解题的过程就是运用已知条件的过程,已知条件要用得能揭露题目的本质(越彻底越好).如果设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),运用条件f(2+x)=f(2-x)也能求得b=-4a,但不如采用上述对称法对问题揭露得彻底.
本题解法为待定系数法,它适用于已知函数的思路解析式的类型(例如一次函数、二次函数等)及函数的某些特征求该函数的问题,关键在于快捷地求出待定常数.