如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值．(2)求点D到平面PAB的距离．
如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值．(2)求点D到平面PAB的距离．
解 如图取DC的中点O，连结PO，
∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC
又∵面PDC⊥面ABCD
∴PO⊥面ABCD
∴以O为坐标原点OC、OP所在直线为y轴，z轴建立如图所示直角坐标系，
则P(0,0，
a)，A(a，
,0)，B(a，
,0)，C(0，,0)，
D(0，,0)．
(1)∵E为PC的中点，∴E(0，
，
)
∴＝(0，a，a)，
＝(a，－，－a)，
·＝a×(－)＋a×(－a)＝－a2，
||＝a，||＝a，
cos〈，〉＝
,
∴异面直线PA与DE所成角的余弦值为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
(2)由(1)知＝(a，－，－a)，
＝(0，a,0)，
＝(0，a,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
n⊥，n⊥＝(0，a,0)，
∴n·＝xa－y－az＝0①
n·＝ya＝0②
由②得y＝0，代入①得xa－az＝0
令x＝，则z＝2，∴n＝(，0,2)．
则D到平面PAB的距离d等于在 n 上射影的绝对值.
＝＝a，
即点D到平面PAB的距离等于a. 。。。。。。。。。12分