（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱
中,
、
、
分别是
、
、
的中点，
是
上的点.
（1）求直线
与平面
所成角的正切值的最大值；
|
平面
； （3）求直线与平面的距离.
（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,、、分别是、、的中点，是上的点.
（1）求直线与平面所成角的正切值的最大值；
|
平面； （3）求直线与平面的距离.
解:（1）PE在平面ABC内的射影为AP，则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，
当点P与D重合时，AP最短，此时：
取直线PE与平面ABC所成角的最大值为
…………（4分）
（2）如图所示，连接DE、CE，∵D、E、F分别是所在棱的中点，
,
又平面EDC//平面
………………………………………………………（8分）
（3）解法一 由（2）可知，直线PE与平面
的距离等于两平行平面EDC与平面 的距离，即点
到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离.设A到平面EDC的距离为
，又
，平面
且平面
，又
,
为直角三角形.
由
，得
………………………………………… （12分）
解法二 由（1）知，平面EDC//平面,故平面的法向量也为
.又E到平面的距离，即为向量
在法向量n上的投影的绝对值，
又
=