如图，已知
是直角梯形，
，
，
，
平面．
(1) 证明：
；
(2) 在
上是否存在一点
，使得
∥平面
？若存在，找出点，并证明：∥平面；若不存在，请说明理由；
（3）若
，求二面角
的余弦值．
如图，已知是直角梯形，，，，平面．
(1) 证明：；
(2) 在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，找出点，并证明：∥平面；若不存在，请说明理由；
（3）若，求二面角的余弦值．
（1）证明见解析（2）存在（3）二面角的余弦值为
（1）由已知易得
，
．
∵ 
， ∴ 
，即
．
又 ∵ 平面，
平面，∴ 
．
∵ 
，∴ 
平面
．又∵ 
平面， ∴ 
．
(2) 存在．取的中点为,连结,则∥平面．证明如下：
取
的中点为
,连结
． ∵
，
， ∴
，且
，
∴四边形
是平行四边形，即
．
∵ 
平面，∴ 
平面.
∵
分别是
的中点，∴ 
．
∵ 
平面，∴ 
平面．∵ 
，∴平面
平面．
∵ 
平面
，∴
平面．
（3）如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系
，则有
，
，
，
，
，
，
，
由题意知，
平面
，所以
是平面的法向量．
设
是平面的法向量，
则
，即
．
所以可设
．所以
．
结合图象可知，二面角的余弦值为．