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已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值之差.

答案

解:f′(x)=3x²+2ax+b.

∵f(x)在x=2处有极值,

∴f′(2)=0,即12+4a+b=0.

又f(x)的图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,

∴f′(1)=-3,

即3+2a+b=-3.

由得

∴f′(x)=3x²-6x.

由f′(x)=0,得x₁=0,x₂=2.

当x＜0时,f′(x)＞0；当0＜x＜2,f′(x)＜0；当x＞2时,f′(x)＞0.

∴x=0时取极大值,x=2时取极小值.

∴f(0)-f(2)=c-8+12-c=4.

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