已知n∈N*，函数f (x)=x3-nx2+(2n+1)，x∈R．
（I）当n=1时，求f(x)的单调区间；
（II）设函数f(x)在[-1，1]上的最大值为an，记bn=
，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<
．
已知n∈N*，函数f (x)=x3-nx2+(2n+1)，x∈R．
（I）当n=1时，求f(x)的单调区间；
（II）设函数f(x)在[-1，1]上的最大值为an，记bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．
解：（Ⅰ）当n=1时，f(x)=x3-x2+3.
所以
=3x2-2x=3x(x -
)
由>0,得x<0,或x>.
由<0,得x<O，0<x<
所以f(x)的单调递增区间是(一∞，0)和(,+∞),单调递减区间是(0,). 5分
（II）因为=3x(x -
),且≥
所以当x在R上变化时，与f(x)的变化情况如下表：
而f(0)=2n+1, f(1)=2n+2-n,
又n≥1，所以f(0)≥f(1)．
当x∈[-1，1]时，f(x)max= f(0)=2n+1，即an=2n+1．
所以bn=
=
=
.
所以Tn=
+
+…+
=
-
<